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在计算机图形学、游戏开发（如 Unity、Unreal）以及 3D 数学中，Transform（变换） 通常指对物体进行平移（Translation）、旋转（Rotation） 和缩放（Scale） 的操作。
这三种变换通常组合成一个 4x4 变换矩阵，用来描述一个物体在世界空间中的位置、朝向和大小。
以下是这三大变换的详解与数学原理：
平移变换（Translation）
作用：将物体从一个位置移动到另一个位置。
数学表示（齐次坐标，4x4矩阵）：
假设你想将物体沿 X 轴移动 ( t_x )，沿 Y 轴移动 ( t_y )，沿 Z 轴移动 ( t_z )。
[
T(t_x, t_y, t_z) =
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & t_x \
0 & 1 & 0 & t_y \
0 & 0 & 1 & t_z \
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
]
- 特点：不改变物体的形状、大小和朝向,只改变位置。
- 顺序：在大多数引擎中，平移通常最后应用（相对于世界坐标）。
旋转变换（Rotation）
作用：让物体绕某个轴（X、Y、Z 或任意轴）旋转一定角度。
数学表示（绕坐标轴旋转 θ 角度）：
-
绕 X 轴： [ R_x(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0 \ 0 & \sin\theta & \cos\theta & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ]
-
绕 Y 轴： [ R_y(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ -\sin\theta & 0 & \cos\theta & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ]
-
绕 Z 轴： [ R_z(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0 \ \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} ]
-
重要概念：
- 万向锁：使用欧拉角（X/Y/Z顺序）时会出现，通常推荐使用四元数避免。
- 旋转顺序：在Unity中，旋转顺序是 Z -> X -> Y。
缩放变换（Scale）
作用：改变物体的大小。
数学表示：
假设 ( s_x, s_y, s_z ) 分别是 X、Y、Z 方向的缩放因子。
[
S(s_x, s_y, s_z) =
\begin{bmatrix}
s_x & 0 & 0 & 0 \
0 & s_y & 0 & 0 \
0 & 0 & s_z & 0 \
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
]
- 均匀缩放：( s_x = s_y = s_z )
- 非均匀缩放：不同轴有不同的缩放因子（会使物体变形,如压扁拉长）
- 负缩放：可以用于镜像（如把 X 缩放设为 -1）
变换的复合（组合顺序很重要！）
矩阵乘法不满足交换律,因此应用变换的顺序非常关键。
常见的两种顺序：
-
TRS（先缩放，再旋转，最后平移）
这是最常用的顺序（如 Unity、OpenGL）：
[ M = T \times R \times S ]- 先缩放（绕本地原点）
- 再旋转（绕本地轴）
- 最后平移（到世界位置）
-
SRT（先平移，再旋转，最后缩放）
不常用于物体本身,更多用于摄像机或特定算法。
举个例子：
- 如果先平移再旋转：物体会绕世界原点转，而不是绕自己中心转（通常不是你期望的效果）。
在引擎中的实际表现（以 Unity 为例）
| 属性 | Transform 组件中的字段 | 说明 |
|---|---|---|
| Position | transform.position |
世界坐标位置 (Vector3) |
| Rotation | transform.rotation |
四元数 (Quaternion) |
| Local Scale | transform.localScale |
本地缩放 (Vector3) |
操作示例：
// 平移 transform.Translate(1, 0, 0); // 沿 X 轴移动 1 单位 // 旋转 transform.Rotate(0, 90, 0); // 绕 Y 轴旋转 90 度 // 缩放 transform.localScale = new Vector3(2, 2, 2); // 放大两倍
| 变换 | 改变什么 | 矩阵特征 | 顺序建议 |
|---|---|---|---|
| 平移 (T) | 位置 | 最后一列是位移 | 最后做 |
| 旋转 (R) | 朝向 | 左上 3x3 是旋转矩阵 | 中间做 |
| 缩放 (S) | 大小 | 对角线上是缩放因子 | 最先做 |
核心口诀：
TRS 顺序：先缩放，再旋转，最后平移。
如果你需要我进一步解释四元数旋转、矩阵推导或在具体引擎中的实现,我可以提供更详细的说明。
